EXERCICE

INTERACTION SPIN-POUSSEE

 

CONTENU : Mis à jour décembre 2000

Mise en évidence du couplage poussée-spin. Solution

Effet amortisseur de l'éjection de masse sur la nutation d'un étage spinné. Solution

Notion de raideur gyroscopique.

 Un étage de lanceur est soumis à la poussée d'un moteur à poudre , par exemple pendant une manœuvre d'apogée par exemple. La tuyère est non orientable et de toute évidence des imperfections techniques font que la poussée ne peut passer par le centre d'inertie du lanceur créant ainsi inévitablement un couple G autour du centre de masse G, couple qui tend à faire tourner le lanceur

I INTERACTION POUSSE-SPIN :

On appellera d l'angle de décalage de la poussée F sur l'axe du lanceur, d la distance du centre d'inertie à l'axe de la poussée, ainsi le module du couple vaut G = Fd. On remarquera aussi que le couple a pour origine aléatoire, des défauts de calage d'axes, donc liés à la géométrie du montage. Il en résulte que le couple parasite vu du lanceur est un vecteur constant.

A est le moment d'inertie transverse de la fusée

C est le moment d'inertie axial de la fusée

r et w sont respectivement la rotation axiale et la rotation transversale de la

² fusée.

0n introduit 2 vecteurs du plan (X-Y) , représentés par leurs affixes G et Z:

Les conditions initiales sont : p(0) = q(0) = 0, r(0) = ro, w(t=0) = wo

  1°) En utilisant le théorème du moment cinétique en projection sur les axes principaux mobiles, former les équations d'Euler vérifiées par p, q, r.

En déduire que la rotation axiale r reste constante.

2°) Former l'équation différentielle linéaire vérifiée par le complexe Z.

On sera amené à poser 3 nouvelles constantes

Résoudre et donner la solution Z(t). Déduire alors :

Que la rotation transversale reste bornée en module.

Que l'angle de nutation reste borné

2°) Application pratique et numérique:

 Le couple dû au mauvais centrage de la poussée peut être très important par exemple G = Fd = 30 m-N.

 Pour un satellite ayant les caractéristiques suivantes:

C = 850 m2-kg

l = C/A = 1.25 allongement inertiel

ro = 1 tour/seconde

 De plus ce qui est naturel, le lanceur est supposé parfaitement stabilisé, juste avant l'allumage du moteur au temps initial t=0, donc wo = 0

Calculer qmax, et justifier le phénomène dit de raideur gyroscopique.

 II EFFET AMORTISSEUR DE L'EJECTION DE MASSE

Lors du fonctionnement d'un moteur fusée , l'éjection des gaz brûlés crée sur le satellite (ou le lanceur ) un couple lié à la rotation transversale , couple qui s'oppose à cette rotation transversale.

Tout se passe comme si le jet était très stable et s'opposait aux forces qui veulent lui imposer une orientation différente( plus simplement les parois de la tuyère, viennent s'appuyer sur le jet, lors d'une rotation transversale. La dissymétrie de la répartition des pressions sur la tuyère est à l'origine du couple de réaction)

 Si w désigne le vecteur rotation transversale alors le couple antagoniste a pour valeur

q est le débit massique et d la distance du centre d'inertie à la tuyère.

Par un calcul analogue à celui de I 1°) montrer que s'il existe une rotation transversale initiale de module wo alors la propulsion a un effet amortisseur de cette rotation transversale et par voie de conséquence de la nutation q.

On notera toujours l = C/A l'allongement inertiel du lanceur.

SOLUTION

I INTERACTION POUSSEE-SPIN :

1°)Equations d'Euler

Le théorème du moment cinétique appliqué à S en G donne:

 

2°) Equation vérifiée par Z(t):

 De toute évidence la rotation transversale se conserve r = ro.

Posant comme préconisé Z = p + i q affixe du vecteur w dans le plan

transverse au lanceur, en associant classiquement (1) et (2) on a :

Solution

 Le lecteur achèvera sans peine le calcul qui conduit à :

P que le point M d'affixe Z ( ou encore l'extrémité du vecteur rotation transversale w ) décrit un cercle de centre M* (Affixe Z*) et de rayon R*, à la vitesse angulaire (l-1)ro

Interprétation :

Dans tous les cas quel que soit la rotation initiale, il est clair que la norme de la rotation transversale reste bornée supérieurement par:

Comme la nutation q vérifie une relation simple on a :

CAS PARTICULIER :

Le cas proposé correspond à Z* = 0, donc

NOTION DE RAIDEUR GYROSCOPIQUE :

L'expression fait apparaître au dénominateur le carré de la vitesse de spin. On voit donc que la nutation décroît très rapidement avec la vitesse de spin. En somme le lanceur voit son axe rigidifié dans le repère absolu, d'autant moins insensible aux couples transverses que le spin est grand, c'est la RAIDEUR GYROSCOPIQUE.

II EFFET MORTISSEUR DE L'EJECTION DE MASSE

1°)Equations d'Euler

Le théorème du moment cinétique appliqué à S en G donne:

  

Exprimées sur les axes du satellite il vient :

 

 D'où r = ro et avec la combinaison complexe (1) + i (2) nous obtenons une équation simple et une solution évidente:

 

 Le passage aux modules fournit

 

montrant ainsi de manière évidente l'effet du jet lors de la propulsion. L'effet est donc stabilisant pour le lanceur. Combiné avec l'étude de 1°) on comprend tout l'intérêt de la mise en spin.

Au passage on constate que le vecteur rotation tourne, par rapport au lanceur, autour de l'axe lanceur Z, à la vitesse angulaire (l-1)rot. 

 Guiziou Robert décembre 2000

Version Word 97 nommée spin&propulsion.doc